平行

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[平行の定義](Euclid,definition23):

平行な2直線は、どこまで延長しても交わらない

平行線公準(Postulate5):

That, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.

<ユークリッド>

①2直線が平行 → 錯角が等しい (命題29-1)

②2直線が平行 → 同位角が等しい (命題29-2)

※2は1より導かれる

※2より、三角形の角の和が180°であることが示される

①錯角が等しい   → 2直線が平行 (命題27)

②同位角が等しい → 2直線が平行 (命題28)

※2は1より導かれる

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[ブレーフェアの平行線公理]

一直線外の1点をとおってそれと交わらない直線は、1つあって、ただ1つに限る

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[対頂角は等しい]

<証明> a+b=180,b+c=180→b=c

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[錯角]

①錯角が等しい→平行

②平行→錯角が等しい

<①の証明>

2直線と交差する直線を一本引く→その片側で2直線が交わるとすると、逆側にも背中合わせの三角形ができ、この2つは合同なはずである(2角夾辺)→2点を通る直線が2本引ける→平行線公理と矛盾→交わらない→平行

<②の証明>

平行線公理より、平行線は一本しか引けない→同一法で、平行ならば錯角は等しい

<エラトステネスの測量>

錯角を用いて地球の大きさを推測

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[同位角]

①同位角が等しい→平行

②平行→同位角が等しい

<①の証明>

同位角が等しい→対頂角なので錯角も等しい→平行

<②の証明>

平行→錯角が等しい→対頂角なので同位角も等しい

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