三角形の面積 = 底辺 * 高さ
※底辺と高さは垂直
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作図
1. 垂直二等分線(2軒の家から等距離のバス停、3軒の家から等距離の公民館)
2. 角の二等分線
3. 垂線
4. 正三角形
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[ふたつの図形が合同(congruent)]
→対応する線分の長さが等しい
→対応する角の大きさが等しい
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[三角形の合同条件]
①一辺とその両端の角が等しい (2角夾辺)
②二辺とその間の角が等しい (2辺夾角)
③三辺が等しい
<①の証明>
重ね合わせる→"2点を通る直線は1本しか引けない"ので残りの一辺は1本しか引けない
<②(2辺夾角)の証明>(ターレスの証明)
重ね合わせる→"2点を通る直線は1本しか引けない"ので、残りの頂点は1つしかつくれない
<③の証明>(フィロによる証明)
△ABCと三辺が等しい△A'B'C'をつくり、後者をB'C'を軸に折り返す→ふたつの三角形をBCとB'C'が重なるように並べる→AA'の線を引くと△ABA'と△ACA'は二等辺三角形→底辺が等しい→∠A=∠A'→二辺夾角が等しいことから、△ABC≡△A'B'C'
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[二等辺三角形の定理](パッポスの証明)
①二等辺三角形 → 底角がひとしい
②底角が等しい → 二等辺三角形
<①の証明>
△ABCを裏返す→△ABCと△ACBが合同(2辺夾角)→対応する角は等しい→底角は等しい
<②の証明>
△ABCを裏返す→△ABCと△ACBが合同(2角夾辺)→対応する辺は等しい→二等辺三角形
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[直角三角形(right triangle)の合同条件]
① 斜辺(hypotenuse)とひとつの鋭角がそれぞれ等しい
② 斜辺と他の一辺がそれぞれひとしい
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証明の手順
[ふたつの三角形が合同である]
①1辺とその両端の角が等しいことを示す → したがって合同
②2辺とその間の角が等しいことを示す → したがって合同
③3辺がそれぞれ等しいことを示す → したがって合同
[ふたつの直線が平行である]
①同位角が等しいことを示す → したがって平行
②錯覚が等しいことを示す → したがって平行
[ふたつの辺が同じ長さである]
●その辺を含むふたつの三角形が合同であることを示す → したがって同じ長さ
[ふたつの角が同じ角度である]
●その角を含むふたつの三角形が合同であることを示す → したがって同じ角度
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[三角形の相似条件]
①3組の辺の比が、すべて等しい
②2組の辺の比が等しく、その間の角が等しい。
③2組の角が、それぞれ等しい
<①の証明>
<②の証明)
<③の証明>